2.1.2. Неравенства второй степени (квадратные)

ax²+bx+c > 0 (³ , < , £), a ¹ 0.

Теория и примеры

Неравенством второй степени с одной переменной (квадратным) называется такое неравенство, которое с помощью эквивалентных преобразований приводится к виду ax² + bx + c > 0 (³ , < , £ ), a ¹ 0.

Левая часть неравенства - квадратичная функция. Область определения неравенства: xÎ R.

В таблицах приведены решения строгих и нестрогих квадратных неравенств при a > 0.

Таблица 1. Решение строгих неравенств.
	ax^2+bx+c > 0	Эскиз графика квадратичной функции	ax^2+bx+c < 0
D < 0	x Î R		Æ
D = 0	xÎ (-¥ ;-b/2a)È (-b/2a; +¥ )		Æ
D ³ 0	xÎ (-¥ ; x1) È ( x2; +¥ )		xÎ (x1; x2)

Таблица 2. Решение нестрогих неравенств.
	ax^2+bx+c ³ 0	Эскиз графика квадратичной функции	ax^2+bx+c £ 0
D < 0	x Î R		Æ
D = 0	xÎ R		x = - b/2a
D ³ 0	xÎ (-¥ ; x1] È [ x2; + ¥ )		xÎ [x1; x2]

Замечание. Для решения неравенств, если а < 0, можно:

а) перейти к равносильному неравенству, у которого а > 0.

б) использовать эскиз графика функции левой части - параболу

с ветвями, направленными вниз.

Пример 1. Решить неравенство x²- 8x + 16 £ 0.

Решение. Левая часть неравенства - полный квадрат разности чисел x и 4; неравенство может быть записано в виде (x- 4)² £ 0.

Левая часть неравенства положительна для всех значений переменной кроме x = 4.

Ответ. 4.

Пример 2. Решить неравенство x² + 6x + 15 < 0.

Решение. D < 0, x² + 6x +15 > 0 " x Î R.

Ответ. Æ .

Пример 3. Решить неравенство -5x² - 6x - 1 ³ 0.

Решение. -5x²-6x-1 ³ 0 Û 5x²+6x+1 £ 0. Корни трехчлена: x₁= -1,

x₂= -1/5; графическая иллюстрация решения:

Ответ. [-1; -1/5].