Назад Вперед

Листание страниц

2.1.3. Рациональные неравенства n-ой степени

Pn(x)>0, nОN, n>2, (і , < , Ј )

где Pn(x) - многочлен.

Теория и примеры

Рациональные неравенства высших степеней решаются методом интервалов.

Условимся называть критическими точками рациональной функции y = Pn(x), нули многочлена Pn(x).

Числовая ось разбивается критическими точками на конечное число интервалов знакопостоянства рациональной функции (теорема о сохранении знака). Определив знак функции Pn(x) на каждом из интервалов, находим решение неравенства.

Пример 1. Решить неравенство (x+2)(x-3)(x-5) < 0.

Решение. Находим критические точки x=2, x=3, x=5. Отмечаем их на числовой оси. Определяем знак функции y=(x+2)(x-3)(x+5) на любом из интервалов, например, на крайнем правом. Далее расставляем знаки функции на каждом интервале, учитывая, что знак меняется при переходе через каждую критическую точку, так как нет повторяющихся нулей.

Ответ. (-Ґ ; -2)И (3; 5).

Пример 2. Решить неравенство (x- 1)20(x-3)5(3x-6-x2) < 0.

Решение. Область определения неравенства xО R. Находим критические точки функции y = (x-1)20(x-3)5(3x-6-x2) - x=1, x=3. Отмечаем их на числовой оси и определяем знак функции y = (x-1)20(x-3)5(3x-6-x2) на каждом из интервалов.

При переходе через точку 1 знак функции не меняется, так как показатель степени соответствующего линейного множителя - четный.

Ответ. (3; +Ґ ).

Замечание. С учетом того, что (x- 1)20(x-3)5(3x-6-x2) < 0 Ы (x- 1)2(x-3)( x2-3x+6)>0, (x-1)2>0 " xО R, если x № 1, x2-3x+6>0 " xО R (D<0) получаем, что данное неравенство равносильно x-3 > 0 , при x№ 1. x Î(3, +¥). Листание страниц