2.1.4. 
где Pn(x), Qm(x) - многочлены.
Теория и примеры
Дробно-рациональным неравенством называется такое неравенство, которое можно привести с помощью эквивалентных преобразований к виду
где
Pn(x), Qm(x) -многочлены.Область определения неравенства находится из условия
Qm(x) ¹ 0. Учитывая, что
так как
решаем дробно-рациональные неравенства методом интервалов. Условимся называть критическими точками нули функций
y = Pn(x) и y = Qm(x).На основании теоремы о сохранении знака дробно-рациональной функции и учитывая область определения неравенства, решение проводим в следующей последовательности:
- Находим критические точки функций левой части неравенства.
- Отмечаем эти точки на числовой оси, тем самым разбиваем ее на интервалы знакопостоянства.
- Определяем знак функции на каждом из интервалов.
- Выбираем интервалы - решения неравенства с учетом области определения.
Пример 1.
Решить неравенство
Решение.
Область определения xО R, но x ¹ 0. Находим критические точки x = 1, x = -2, x = 0.Отмечаем их на числовой оси, определяем знаки на каждом интервале.
Ответ.
xÎ (-Ґ ; 0) И (1; +Ґ ).Замечание. Так как
x2-x+1 > 0 " xО R (D<0), (x+2)2і 0 " xО R, то
Ответ. (
-Ґ ; 0) И [1; +Ґ ).Пример 2.
Решить неравенство
Решение.
Область определения неравенства хО R, но x № 1, x № -1, x № 3.Находим критические точки
х = 0, х = ± 1, х = ± 2, х = 3.Отмечаем их на числовой оси. Определяем знаки на каждом из интервалов.
Ответ.
[-2; -1)И {0}И [2; 3)И (3; +Ґ ).Замечание 1. При переходе через точки 0, 1, 3 знак не меняется, так как соответствующий линейный множитель имеет суммарную четную степень.
Замечание 2. С учетом того, что
x
О [-2; -1)И {0}И [2; 3)И (3; +¥ ).