2

Листание страниц

2.3.3. Решение неравенств вида
a| f(x)|+ b|j(x)| +...+ g(x) > 0, (і ,< ,Ј ),
где f(x),j(x),..., g(x) - рациональные функции от x.

Теория и пример

Неравенства такого вида решаются методом интервалов. Метод заключается в следующем.

1. Находим D(y), а также нули x_i функций f(x),j(x),...,т.е. нули функций, стоящих под знаком модуля и отмечаем их точками на числовой оси.

2. Область определения неравенства разбивается этими точками на промежутки, в которых функции f(x),j(x),... сохраняют свой знак.

3. Для каждого из промежутков записываем соответствующее ему неравенство без модуля.

4. Решаем полученные неравенства на каждом из промежутков, т.е. решаем системы неравенств, первое из которых задает интервал, а второе - исходное неравенство с раскрытыми модулями для каждого промежутка.

5. Объединяем полученные решения.

Покажем это на примере.

Пример. Решить неравенство |x+3|+ |x|- |x- 1| Ј x+6.

Решение.

1. Область определения неравенства {x: xОR}. Нули функций под знаком модуля x= -3, x= 0, x= 1; отмечаем их на числовой оси.

2. Составим таблицу знаков на основании определения модуля, учитывая, что

x f(x)	I	II	III	IV
x f(x)	(-Ґ ; -3]	[-3; 0]	[0; 1]	[1; +Ґ )
x+ 3	-	+	+	+
x	-	-	+	+
x-1	-	-	-	+

3. Для каждого из промежутков записываем соответствующее ему неравенство.

4. Решаем неравенства.

I			-5Ј x Ј -3;
II			-3Ј x Ј 0;
III			0Ј x Ј 1;
IV			x і 1;

5. Решение данного неравенства есть объединение решений, полученных на каждом интервале: xО[-5; +Ґ ).

Ответ. [-5; +Ґ ). Листание страниц