2.1.5. Дробно-рациональные уравнения.

Теория и примеры

Дробно-рациональным уравнением называется уравнение вида P_n(x)/Q_m(x) = 0, Q_m(x)¹ 0, где P_n(x) и Q_m(x) - многочлены (полиномы).

При решении дробно-рационального уравнения необходимо найти его область определения.

Уравнение равносильно смешанной системе

другими словами, равносильно уравнению Р_n(х) = 0 на своей области определения.

Пример. Решить уравнение

Решение. Разложим на множители знаменатель

2 х ² + 7х - 4 = (2х -1)(х + 4).

Найдем область определения:

x ¹ - 4, x¹ 1/2; xÎ (-¥; - 4) È (- 4; 1/2) È (1/2; ¥).

Преобразуем:

Отсюда

равносильное заданному на его области определения. Найдем корни х = - 1/3, х = 1/2. Учтем область определения.

Ответ: -1/3.