2.2.2. Решение уравнений вида

Теория и примеры

Mетод решения уравнений данного вида состоит в следующем: изолируют один радикал и обе части уравнения возводят в квадрат. Затем снова изолируют радикал и так далее до тех пор, пока не получат рациональное уравнение.

Замечание 1. Целесообразно начинать решение с области определения, так как иногда область определения - пустое множество.

Замечание 2. Необходимо следить за равносильностью преобразований или делать проверку корней методом подстановки.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Находим область определения.

Уединим радикал

Возводя обе части уравнения в квадрат, получим 2х -3 = х -2; х = 1. Это посторонний корень, он не входит в область определения уравнения.

Ответ. Æ

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Находим область определения уравнения

Ответ.Æ

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Найдем область определения, выделив полный квадрат двучлена 2х²± 3х + 5 = 2(x ± 3/4) + 31/8 > 0, xÎR.

Уединим один корень и возведем обе части уравнения в квадрат. После приведения подобных получим

Снова возводим в квадрат и преобразуем к виду

х²- 16 = 0,

откуда х = ±4. Проверка показывает, что х = -4 - посторонний корень.

Ответ. 4.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. D(y): x ÎR. Уединим один корень и возведем в куб обе части уравнения

Снова возводим в куб обе части уравнения

Ответ. 1; 8

Замечание. Уравнения такого вида можно решать сразу возведением в куб обеих частей уравнения