Назад Вперед

Листание страниц

2.2.4. Введение новой переменной в уравнениях вида

Теория и примеры

Указанные типы иррациональных уравнений заменой переменной или некоторой функции от нее сводятся к рациональным уравнениям, для которых известно решение.

 

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Найдем область определения уравнения: х2+ 4х - 12 ³ 0. Решив неравенство, получим х £ -6, х ³ 2. Замечая, что

х2+ 4х - 30 = (х2+ 4х - 12) - 18,

сделаем замену переменной. Введем

уравнение сведется к квадратному t2+ 3t - 18 = 0, корни которого t1 = -6 и t2=3. Корень t1 = -6 следует отбросить, для t2 = 3 получим иррациональное уравнение

Возводя в квадрат обе его части, придем к уравнению х2+ 4х - 21 = 0, корни которого х1= -7 и х2= 3. С учетом области определения проверке подлежат оба корня - оба корня являются решениями уравнения.

Ответ. -7; 3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Найдём область определения.

Замечая, что

введем t = 10 / х:

Возводим в квадрат, уединив корень, получим:

после приведения подобных

откуда t = 10/6; 10/х = 10/6; х = 6 Î (0; 10]. Для проверки

вычислим левую часть уравнения при x = 6:

 что совпадает со значением правой части.

Ответ. 6.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения x Î R, но x ¹ 0, x ¹ 1.

Введем

где tÎR, но t ¹ 0. Уравнение принимает вид: t + 1/t = 5/2. 2t2- 5t + 2 = 0, откуда t1= 1/2, t2= 2 или

Проверкой убеждаемся, что найденные корни - решения данного уравнения.

Ответ. -1/512; 2.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Область определения x ³ -4.

Обозначив

получим t2+ 4t - 5 = 0; t = -5; t = 1. t = -5 следует отбросить, для t = 1 получим

x = -3 входит в область определения, подлежит проверке

верно.

Ответ. -3.

Листание страниц