2.3.3. Решение уравнений вида
a|f(x)| + b|j(x)| + ...+g(x) = 0, a ¹ 0
где f(х), j(x),...,g(х) – рациональные функции от х.

Теория и пример.

Уравнения данного вида решаем методом интервалов. Суть его состоит в следующем.

1.     Находим нули х_i функций, стоящих под знаком модуля.

2.     Разбиваем область определения уравнения на промежутки, на каждом из которых f(х), j(х), ... сохраняют свой знак.

3.     Для каждого из промежутков записываем соответствующее уравнение без знака модуля.

4.     Решаем полученные уравнения и находим объединение решений - эта совокупность составляет все решения исходного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение |x - 1| + |x - 3| = 2x - 4.

Решение.

1.     Находим нули функций под знаком модуля x = 1, х = 3.

2.     Этими точками числовая ось разбивается на три промежутка, на каждом из которых функции под знаком модуля сохраняют свой знак.

Запишем таблицу знаков

3.     Запишем уравнения, раскрыв модуль на каждом из промежутков, и решим их:

Замечание. Нули функций под знаком модуля можно включать в каждый из рассматриваемых интервалов.

4.     Объединяя решения, получим xÎ [3; +¥ ).

Ответ. [3; +¥ ).

Замечание. Можно было пункт 3 записать иначе:

Пример 2. Решить уравнение | x - 4 | + | x + 4 | = 9.

Решение. Можно решить данное уравнение по стандартной схеме.

Но решение может быть короче, если при анализе функции левой части уравнения заметить, что она четная

y(-x) = y(x).

y(-x) = |-x - 4| + |-x + 4| = |x + 4| + |x - 4|

Следовательно, если х = a > 0 – корень уравнения, то -a – так же корень.

На промежутке 0 £ х £ 4 получим уравнение

-(x - 4) + (x + 4) = 9; x Î Æ.

На промежутке 4 £ х < +¥ исходное уравнение равносильно уравнению

x - 4 + х + 4 = 9; х = 4,5

В силу четности функции х = ± 4,5.

Ответ. ± 4,5.