3.1. Исследование линейных уравнений.

Теория и примеры

Пусть в уравнении ax + b = 0, а ¹ 0, коэффициенты a и b - алгебраические выражения, зависящие от некоторого параметра. Исследуем решение уравнения в зависимости от параметра.

Исследовать уравнение – значит определить, при каких значениях параметра уравнение

а) имеет единственное решение, найти его,

б) не имеет решений,

в) имеет бесконечное множество решений.

Рассмотрим эти три случая.

1.     Единственное решение линейного уравнения х = -b/a, при а ¹ 0.

2.     Если а=0, b¹ 0, то уравнение принимает вид 0×х + b = 0, то есть уравнение не имеет решений, х Î Æ .

3.     Если а = 0 и b = 0, то уравнение принимает вид 0×х + 0 = 0, то есть обращается в тождество, значит, уравнение имеет бесконечное множество решений.

Пример 1. Исследовать уравнение m²x - 15 = 5m - 3mx.

Решение. Приведем уравнение к виду ах + b = 0.

m(m + 3)x - 5(m + 3) = 0.

Если m Î R, m ¹ 0, m ¹ -3 то уравнение имеет единственное решение х = 5/m; если m = 0, то уравнение (0×x-15 = 0) не имеет решений; если m = -3, то уравнение (0×x - 0 = 0) имеет бесконечное множество решений.

Ответ. Если m ¹ 0, m ¹ -3, то х = 5/m; если m = 0, то решений нет ; если m =-3, то х Î R.

Пример 2. Исследовать уравнение

6 (a²x - 1) - a = 2a (1 + x) - 7.

Решение. Приведем уравнение к виду ах + b = 0.

2a(3a - 1)x + 1 - 3a = 0.

Если a Î R, а ¹ 0, а ¹ 1/3, то уравнение имеет единственное решение х = 1/2a; если а = 1/3, то уравнение имеет бесконечное множество решений; если а = 0, то уравнение не имеет решений.

Ответ. Если a ¹ 0, a ¹ 1/3, то х = 1/2a; если a = 1/3, то х Î R; если a= 0, то нет решений .