3.2. Исследование квадратных уравнений

Теория и примеры

Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0, а ¹ 0, коэффициенты не числа, а алгебраические выражения, зависящие от параметра, то может стоять задача исследовать уравнение. Исследовать уравнение - значит определить, при каких значениях параметра уравнение

а) имеет решения, найти их;

б) не имеет решений;

в) имеет бесконечное множество решений.

Рассмотрим эти три случая.

1.     Если а = 0, то задача сводится к исследованию линейного уравнения.

2.     Если а ¹ 0, то задача решается исследованием дискриминанта:

а) если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня,

б) если D = 0, то уравнение имеет один корень (кратности два),

в) если D < 0, то уравнение не имеет действительных решений.

Пример 1. Исследовать уравнение

ax² +2x + a² = 0.

Решение. При а = 0 уравнение имеет вид 2х = 0 Û х = 0 – единственное решение. При а ¹ 0, D = 4( 1-а³)

а) D > 0, a < 1, два различных корня

б) D = 0, a = 1, один корень x = -1;

в) D < 0, a > 1, действительных корней нет, Æ .

Ответ.

Пример 2. При каких значениях параметра а корни уравнения

x²- 8ax/(a + 1) + a² = 0

действительные, положительные?

Решение. Будем использовать теорему Виета. Корни действительны, если D ³ 0; они одного знака, если x₁x₂ > 0 и положительны, если x₁ + x₂ >0. Таким образом, надо решить систему

Второе неравенство выполняется для любых а ¹ 0. Первое неравенство преобразуем к виду

Так как a² > 0 и (a + 1)² > 0, имеем

Ответ. [-5; -1)È(–1; 0)È(0; 3].