Еще около 250 г.н.э. в
древнем Вавилоне в трудах Диофанта были приведены два правила решения уравнений. Им же была
введена буквенная символика.
В IX веке благодаря трактату "Наука об уравнениях" арабского учёного
Аль-Хорезми правило и методика решения линейных и квадратных уравнений стали
общедоступными. С этого времени слово "алгебра" стало употребляться как синоним науки,
главной задачей которой вплоть до середины XIX века было решение уравнений.
В XVI веке в трудах Бомбелли была получена алгебраическим путём
формула для решения квадратного уравнения.
Почти одновременно с этим три учёных
- Стацион дель Ферро, Никколо
Тарталья и Кардано получили формулу корней
кубического уравнения, содержащую радикалы второй и третьей степени.
Вскоре после этого Людовико Феррари нашёл способ решения уравнения 4-ой степени, в него входили радикалы 4-ой степени.
Далее, сколько бы сил ни прилагалось учёными разных стран, для уравнений степени выше четвёртой не удавалось получить аналогичных формул, хотя сомнений в том, что они должны существовать, не было.
Важный шаг в исследовании уравнений был
сделан Лагранжем, который установил связь между решениями уравнения в радикалах
и перестановками корней и высказал сомнения в
существовании общих формул для уравнений 5-ой степени и выше.
Решение проблемы уравнений высших
степеней по праву делят три математика XIX века - Карл Фридрих Гаусс,
Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа. Так, Гауссу удалось решить задачу построения
17-и угольника с помощью линейки и циркуля. Решение этой геометрической задачи
явилось причиной создания мощного алгебраического аппарата, разработанного в
трудах Галуа. Заслуга Абеля же состояла в том, что он поставил вопрос о существования общего решения уравнения 5-ой
степени и выше.
В середине
XIX века удалось найти условия, правило, по
которому по коэффициентам уравнения, составляя соответствующую
группу подстановок, или затем просто группу, можно
ответить на вопрос, разрешимо ли уравнение высших степеней в радикалах.
После открытий Гаусса, Абеля и Галуа алгебра полностью изменила своё
лицо. Основной задачей алгебры стало не решение уравнений, а задача изучения
алгебраических структур - групп, подстановок, колец, полей.
К концу XIX
века, началу XX века теория групп составляет ядро алгебры. Эта
теория продолжает развиваться в трудах современных учёных.
Необходимо
отметить, что развитие науки математики, алгебры, в частности, находило и
находит широкое применение в практике решения задач различного физического
содержания.