Примеры.

Пример 1. Найти все значения параметра  k,  при которых имеет решения уравнение

k(15x + 2) = 10 + 3k².

Решение. Область определения уравнения: xÎR. Раскрывая скобки, решаем линейное уравнение относительно x:

.

При получении этой формулы необходимо сделать дополнительные предположения

k ¹ 0,  k ¹ 5.

При любом другом значении параметра  k  формула даёт решение уравнения, которое в этом случае единственно. Теперь рассмотрим оставшиеся варианты.

При  k = 0  (подставляем в исходное уравнение) уравнение превращается в невозможное равенство 0 = 10.

при  k = 5  уравнение превращается в тождество

5(15x + 2) = 10 + 75x

и, следовательно имеет бесконечно много решений.

Ответ.  k ¹ 0, то есть k Î(- ¥ , 0)È(0, + ¥).

Пример 2. Найти все значения параметра k, при которых уравнение

имеет только один корень.

Решение. Область определения уравнения: xÎR. Для нахождения корней квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  выпишем формулу

Для ее применения необходимо сделать дополнительное предположение a ¹ 0,

из которого следует

k ¹ 0.

Будем решать задачу при выполнении этого дополнительного предположения, а затем рассмотрим оставшийся не исследованным случай.

Корни  x₁  и  x₂  совпадут тогда и только тогда, когда b²– 4ac = 0, то есть в данной задаче при a = 3k, b = –6, c=k–2 при выполнении условия

36 – 12k² + 24k = 0.

            Заметим, что для квадратного уравнения, дискриминант которого равен нулю, одинаково применимы формулировки “уравнение имеет один корень” и “уравнение имеет два равных действительных корня”.

            Решая выписанное уравнение относительно k, находим значения

k = – 1, k = 3.

Теперь рассматриваем случай  k = 0,  так как условие задачи его не исключает. Получаем еще одно значение параметра, при котором уравнение имеет только один корень, поскольку превращается в линейное уравнение  – 6x – 2 = 0.

Ответ. k = – 1, k = 3, k = 0.

Пример 3. Найти все значения параметра a, при которых уравнение

x² – 4x –log₂a = 0

имеет действительные решения.

Решение. Область определения уравнения: xÎR. Корни

квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0 действительны тогда и только тогда, когда выполнено условие b²/4– ac ³ 0. В условиях нашей задачи это означает

4 + log₂a ³ 0.

Отсюда log₂a ³ – 4 и a ³ 2 ^{– 4}.

Ответ. a ³ 2 ^{– 4}.

Пример 4. Каковы должны быть p и q, чтобы корни уравнения

x² + px + q = 0

были тоже p и q.

Решение. Область определения уравнения: xÎR. Воспользуемся теоремой Виета:

«x₁ и x₂ – корни уравнения ax² + bx + c = 0 тогда  и только тогда, когда x₁×x₂ = с/a и

x₁ + x₂ =-– b/a».

Имеем:

Из первого уравнения p = 1или q = 0. При p = 1 из второго уравнения q = – 2. При q = 0 из второго уравнения p = 0.

Ответ. p = 1 и q = – 2 или q = 0 и p = 0.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения: x Î R, x ¹ (p/2 + kp)/m, x ¹ (p/2 + kp)/n, k Î Z. Для решения воспользуемся монотонностью функции tg x на интервале (– p/2, p/2) и периодичностью с периодом p, преобразовав уравнение к виду

Имеем

Далее необходимо сделать предположение m + n ¹ 0, тогда

Если же введенное дополнительно условие не выполняется, то есть, если  n = – m, то заданное уравнение превращается в

или, вследствие нечетности тангенса, в

и не имеет решений.

Ответ.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Область определения неравенства: x ¹ ± a. Приведем неравенство к виду, удобному для применения метода интервалов:

Изображая точки a, – a, – 2a, 3a на действительной оси, мы должны рассмотреть 3 случая.

1) a > 0.

x Î (– ¥, – 2a)È(– a, a)È(3a, + ¥).

2) a < 0.

x Î (– ¥, 3a)È(a, – a)È(– 2a, + ¥).

3) a = 0. Рассматриваемые точки сливаются. Подставив a = 0 непосредственно в неравенство, получим при любом x ¹ 0.

1 – 0 ³ 0,

что верно.

Ответ. При a > 0  x Î (– ¥, – 2a)È(– a, a)È(3a, + ¥);

при a < 0  x Î (– ¥, 3a)È( a, – a)È(– 2a, + ¥);

при a = 0  x Î (– ¥, 0)È(0, + ¥).