2.1.2. Неравенства вида  cosx³a (>, <, £)  (|a|£1).

Теория и пример

Построим графики функций y=cosx и y =a (|a|£1) в одной системе  координат

Из рисунка видно, что график функции y=cosx расположен выше прямой y = a на отрезках [c;b], [e;d]  и т.д. Выберем отрезок [c;b],

ближайший к началу координат, где c= –arccosa, b=arccosa. Учитывая, что период функции y=cosx равен 2p, получим все решения данного неравенства

[–arccosa+2pn; arccosa+2pn], nÎZ.

Замечание. Неравенства со знаками <, >, £  решаются аналогично.

        Пример. Решить неравенство  2cos3x –1>0.

Решение. Область определения неравенства xÎR.

cos3x>1/2.  Обозначим  t = 3x. Неравенство примет вид cost>1/2. Решим его графически.

–arccos(1/2)+2pn<t<arccos(1/2)+2pn,

–p/3+2pn<3x<p/3+2pn,

–p/9+2pn/3<x<p/9+2pn/3, nÎZ.

Ответ. (–p/9+2pn/3 ; p/9+2pn/3), nÎZ.