2.1.3. Неравенство вида tgx ³ a (>, <, £) (aÎR).

Теория и примеры

Построим график функций y = tgx и y = a в одной системе координат.

Из рисунка видно, что график функции y = tgx расположен выше прямой y = a на промежутках [b;c), [e;d)  и т.д. Выберем промежуток [e;d), ближайший к началу координат, где e = arctg a, d = p/2. Учитывая, что период функции y = tgx равен p, получим все множество решений данного неравенства

 [arctg a+pn; p/2+pn), nÎZ.

Замечание. Неравенства со знаками <, >, £  решаются аналогично.

        Пример1. Решить неравенство.

Решение. Область определения неравенства 3x ¹ p/2 + pn или x¹p/6+pn/3, nÎZ.   Введём переменную t = 3x. Неравенство примет вид

Из рисунка, учитывая, что период функции y = tg t равен p, получим

 pn – p/2 < t < – p /6+pn или pn – p/2 < 3x < – p /6+pn, nÎZ.

Ответ.(pn/3–p/6; – p/18+pn/3).