2.2. Сведение неравенства к простейшему применением одной тригонометрической формулы

Теория и примеры

          Некоторые тригонометрические неравенства после применения одной формулы сразу приводятся к простейшим.

        Пример 1. Решить неравенство

.

Решение. Область определения xÎR.

2 sin(x/2)cos(x/2)≥1/2.

Применим формулу синуса двойного аргумента sin2a=sinacosa, получим

sinx ≥ 0,5.

Решим графически.

Ответ. [π/6+2πn; 5π/6+2πn], nÎZ.

        Пример 2. Решить неравенство

Решение. Область определения  х≠ π+2πn, nÎZ. Используем формулу

Получим

Решим графически.

Выделим часть графика функции y = cos x, расположенную ниже прямой

и соответствующий ей интервал на оси Ох. Учитывая периодичность косинуса и область определения, получим все решения неравенства.

Ответ. (5π/6+2πn; π+2πn)È(π+2πn; 7π/6+2πn), nÎZ.

        Пример 3. Решить неравенство

Решение. Область определения: хÎR. Применим формулу

cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β),  получим

Решим графически.

Ответ. (-5π/6+2πn; 5π/6+2πn), nÎZ.