2.1.1. Уравнения вида sinx=a, sinf(x)=a, |a|≤1

Теория и примеры

Решить уравнение sinx = a - значит найти множество всех углов (чисел) x, синус которых равен a.

Построим единичную окружность и проведем прямую
y = a, которая пересечёт окружность в точках А и В. Соединим эти точки с началом координат, получим углы x₁ с конечной стороной ОА и x₂ с конечной стороной ОВ, синус которых равен a. Запишем их, учитывая периодичность функции y = sinx:

x₁= arcsina +2pm; x₂ = p – arcsina + 2pm = – arcsina + p(2m+1), mÎZ.

Объединим две формулы в одну: x = (–1)ⁿ arcsina + pn, nÎZ.

Уравнение вида sinf(x) = a, |a|≤1, решается с помощью выведенной формулы, оно сводится к уравнению f(x) = (–1)ⁿ arcsina + pn, nÎZ.

Пример 1. Решить уравнение sinx = – 1/2.

Решение. Область определения уравнения xÎR. x = (–1)ⁿarcsin(–1/2) + pn.

По определению arcsin(–1/2)= – arcsin(1/2)= – p /6.

Ответ. (–1)ⁿ⁺¹p /6+pn, nÎZ.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения xÎR.

Ответ.