2.1.4.Уравнения вида ctgx=a, ctg(f(x))=a, aÎR.

Теория и примеры

Решить уравнение ctgx = a - значит найти множество всех углов (чисел) x, котангенс которых равен a.

На оси котангенсов найдем точку с абсциссой, равной a. Проведем прямую через эту  точку и начало координат, которая пересечёт единичную окружность в точках А и В. Получим углы x с конечными сторонами ОА и ОВ, котангенс которых равен a. Запишем их, учитывая периодичность функции y = сtgx.

x = arсctga+pn, nÎZ.

Уравнение вида сtg(f(x))=a, aÎR, f(x)¹pn решается с помощью выведенной формулы

f(x ) = arсctga+pn, nÎZ.

 

Пример 1. Решить уравнение

                     

Решение. Область определения уравнения xÎR, кроме  x=pn, 

    

Ответ. x=5p/6 + pn, nÎZ.

 

Пример 2. Решить уравнение

                               2ctg(5x–3)= –2.

Решение. Область определения уравнения  xÎR, кроме x=3+(p/5)n, nÎZ,

так как 5x – 3 ¹ pn,  nÎZ.

ctg(5x–3)= –1,   5x–3=arcctg(–1)+pn,  5x=3+3p/4+pn,

x = 3/5+3p/20+pn/5,  nÎZ.

Ответ. x = 3/5+3p/20+pn/5, nÎZ.