2.2. Сведение уравнения к простейшему применением одной тригонометрической формулы

Теория и примеры

Некоторые тригонометрические уравнения после применения одной формулы сразу приводятся к простейшим. Наиболее часто используются формулы сложения и двойного аргумента.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения xÎR. Применяя формулу (4), получим

Ответ. (–1)ⁿp/3+pn, nÎZ.

Пример 2. Решить уравнение

                     sin²(x/2)-cos²(x/2)=1.

Решение. Область определения xÎR. Применим формулу косинуса двойного угла, получим -cosx =1,  cosx= -1,  x = p+2pn,  nÎZ.

Ответ. p+2pn,  nÎZ.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Область определения xÎR, кроме x=pn/6, nÎZ.

 6x=p/6+pn, x=p/36+pn/6, nÎZ.

Ответ. p/36+pn/6, nÎZ.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Область определения xÎR. Применим формулу (10).

Уравнение примет вид 2sin(3x+p/6)=2 или sin(3x+p/6)=1, 3x+p/6=p/2+2pk, kÎZ.

Ответ. p/18 + 2pk/3, kÎZ.

Замечание. Это уравнение можно решить сведением к квадратному,
 представленному в п.2.3.5.