2.3.2. Уравнения видов asin²x+bcosx+c=0 и acos²x+bsinx+c=0.

Теория и примеры.

Для решения уравнений такого вида применяем формулу

cos²x + sin²x =1.

Получаем уравнение вида mF²(x)+nF(x)+p=0, где F(x)=sinx  или

F(x)=cosx. Это уравнение  заменой F(x)=t сводится к квадратному относительно t.

Пример 1. Решить уравнение 2cos²x+5sinx–4=0.

Решение. Область определения xÎR. Из формулы cos²x + sin²x = 1 получим  cos²x =1– sin²x  и подставим в данное уравнение.

2(1– sin²x)+5sinx– 4=0,    2sin²x – 5sinx+2=0.

Пусть sinx = t,  тогда  2t²–5t+2=0, t₁=0,5, t₂=2.  Но |sinx| ≤ 1. Значение t₂ не удовлетворяет условию |t| ≤ 1.  Имеем sinx=0,5,

Ответ. (–1)ⁿp/6+pn, nÎZ.

Пример 2. Решить уравнение 2sinx tgx+1=cosx.

Решение. Область определения: xÎR , кроме x¹p/2+pn, nÎZ. 2sinxsinx/cosx+1=cosx. Умножим обе части уравнения на cosx¹0.

Получим 2sin²x–cos²x+cosx=0, 2(1– cos²x)–cos²x+cosx = 0,

3cos²x–cosx–2=0. Пусть cosx = t, |t|≤1, тогда 3t²–t–2=0,

t₁= –2/3, t₂=1. Имеем:

1) cosx= –2/3, x=±(p–arccos(2/3)) +pn, nÎZ,

2) cosx=1, x=2pk, kÎZ.

Ответ. ±(p–arccos(2/3)) +pn, nÎZ; x=2pk, kÎZ.