2.3.3. Уравнения вида   aF(x)+bF ^-1(x)+c=0,  где F(x) - тригонометрическая функция

Теория и примеры

Данное уравнение умножением на F(x)¹0 сводится к уравнению вида

 aF²(x)+cF(x)+b=0. Это уравнение заменой F(x) = t приводится к квадратному относительно  t.

Пример 1. Решить уравнение

                  2tgx+2ctgx=5.

Решение. Область определения xÎZ, кроме x=pn/2,  nÎZ. Умножим обе части уравнения на tgx¹0. Получим 2tg²x-5tgx+2=0.  Пусть tgx=t, тогда 2t²-5t+2=0,  t₁=1/2,  t₂=2. Имеем:

1) tgx=1/2, x=arctg(1/2)+pn, nÎZ;

2) tgx=2, x=arctg2+pk, kÎZ.

Ответ.  arctg(1/2)+pn, nÎZ;  arctg2+pk, kÎZ.

Пример 2. Решить уравнение

                       cosx-(4/cosx)-3=0.

Решение. Область определения xÎZ, кроме x=p/2+pn,  nÎZ . Умножим обе части уравнения на cosx¹0. Получим cos²x-3cosx-4=0.   Пусть cosx=t, |t|≤1, тогда t²-3t-4=0,  t₁=-1,  t₂=4.  t₂ не удовлетворяет условию |t|≤1.  Имеем cosx=-1, x=p+2pk,   kÎZ.

Ответ.  p+2pk,   kÎZ.