2.3.4. Однородные тригонометрические уравнения

Теория и примеры.

Тригонометрическое уравнение называется однородным, если оно содержит только синусы и косинусы одного аргумента и сумма показателей их степеней в каждом слагаемом постоянна и равна  n, nÎN.

Например, общий вид однородного уравнения n-ой степени:

a_оsinⁿx+a₁ sin^n-1x cos x+ …+a_n-1 sinx cos^n-1x+a_ncosⁿx=0,

         2-ой степени: a_оsin²x+a₁sinx cos x+a₂cos²x=0,

         1-ой степени:  a_оsinx+a₁cosx=0.

Метод решения

Если a_о¹0 , то обе части уравнения делят на cosⁿx. Это не приведет к потере корней, так как cosx¹0, в противном случае получим и sinx=0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству sin²x+cos²x=1. Если a=0, то в левой части нужно вынести за скобку общий множитель.

Пример 1. Решить уравнение

sin²2x–4sin2xcos2x+3cos²2x=0.

Решение. Область определения xÎR. Разделим обе части уравнения на cos²2x¹0. Получим уравнение, сводящееся к квадратному:

tg²2x–4tg2x+3=0.

Пусть t = tg2x, тогда:   t²–4t+3=0, t₁=1 или  t₂=3;

1) tg2x=1;  x=p/8+pn/2, nÎZ;  2) tg2x=3;  x=(arctg3)/2+pk/2, kÎZ.

Ответ. p/8+pn/2, nÎZ; (arctg3)/2+pk/2, kÎZ.

Пример 2. Решить уравнение

2sinx cosx+5cos² x=4.

Решение. Область определения уравнения: xÎR.Это уравнение сводится к однородному, если правую часть уравнения записать в виде: 4=4(sin² x+cos² x), тогда: 4sin²x–2sinxcosx–cos²x=0 – однородное уравнение 2-ой степени. Разделим обе части  уравнения на cos²x¹ 0, получим:  4tg²x–2tgx–1=0,

Ответ.