2.3.5. Уравнения вида  a× sinx+b× cosx=c

Теория и примеры

Уравнения такого вида приводятся к однородному с помощью формул:

sinx=2sin(x/2)cos(x/2),  cosx=cos²(x/2)–sin²(x/2),  1=cos²(x/2)+sin²(x/2)

Пример 1. Решить уравнение

2sinx+3cosx=2.

Решение.  Область определения уравнения xÎR. Сведем уравнение к однородному. Применим формулы sinx=2sin(x/2)cos(x/2),

cosx=cos²(x/2)–sin²(x/2), 2=2×1=2(sin²(x/2)+cos²(x/2)).

Уравнение примет вид:

4sin(x/2)cos(x/2)+3cos²(x/2)–3sin²(x/2)=2sin²(x/2)+2cos²(x/2),

5sin²(x/2)–4sin(x/2)cos(x/2)–cos²(x/2)=0.

Разделим обе части уравнения на  cos²(x/2)¹0.

Получим   5tg²(x/2)–4tg(x/2)–1=0,      tg(x/2)=t,

 5t²–4t–1=0;       t₁= –1/5,        t₂=1.

Имеем:   1) tg(x/2)= –1/5,   2) tg(x/2) = 1.

Ответ.  –2arctg(1/5)+2pk,  kÎZ, p/2+2pn, nÎZ.

Pример 2. Решить уравнение 2sin2x+3cos2x+2=0.

Решение. Область определения уравнения xÎR. Применим формулы sin2x=2sinxcosx, cos2x=cos²x–sin²x, 2=2(sin²x+cos²x). 

Получим  4cosx sinx+3cos²x–3sin²x+2cos²x+2sin²x=0,     

sin²x–4sinxcosx–5cos²x=0.  Разделим обе части уравнения на cos²x¹0.

tg²x– 4tgx–5=0,  tgx=t,   t²– 4t–5=0,     t₁=5,    t₂= –1.

1)  tgx= –1, x= –p/4+pn, nÎZ,

2)   tgx=5, x=arctg5+pk, kÎZ.

Ответ.  –p/4+pn, nÎZ,  arctg5+pk, kÎZ.