2.4. Разложение левой части уравнения F(x)=0

на множители

Теория и примеры.

         При решении уравнений этого вида следует левую часть уравнения разложить на множители путем тождественных преобразований. Далее использовать утверждение: произведение сомножителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.

         Часто используются формулы:

·     понижение степени

·     преобразование произведений тригонометрических функций в суммы

·       преобразование сумм тригонометрических функций в произведения

Пример 1. Решить уравнение  2ctg²xcos²x+4cos²x–ctg²x–2=0.

Решение. Область определения уравнения xÎR, кроме x = pn. Сгруппируем

(2ctg²xcos²x+4cos²x)–(ctg²x+2)=0,

2cos²x(ctg²x+2)–(ctg²x+2)=0,

(ctg²x+2)(2cos²x–1)=0.

Это уравнение  равносильно совокупности двух уравнений:

 1) ctg²x+2=0,               2) 2cos²x–1=0.

Первое уравнение ctg²x+2=0 не имеет решений, т.к. ctg²x+2>0 на всей области определения. Решим второе уравнение 2cos²x=1, применим формулу 2cos²x=1+cos2x,  получим  1+cos2x–1=0, cos2x=0,

x =p/4+pn/2, nÎZ.

Ответ. p/4+pn/2, nÎZ.

Пример 2. Решить уравнение

cos²x+cos²2x=cos²3x+cos²4x.

Решение. Область определения xÎR. Применим формулу понижения степени. 

(1+сos2x)/2+(1+cos4x)/2=(1+cos6x)/2+(1+cos8x)/2,

(сos2x+cos4x)–(cos6x+cos8x)=0. Преобразуем по формуле (6), получим

2cos3xcosx–2cos7xcosx=0,      2cosx(cos3x–cos7x)=0,     

4cosx(sin5xsin2x)=0.

Откуда: 1) cosx=0,  x₁=p/2+pn, nÎZ;

              2) sin5x=0,  x₂=pm/5, mÎZ;

              3) sin2x=0,  x₃=pk/2, kÎZ.

Значения x₁ содержатся в значениях x₃ .

Ответ.  x = pm/5, mÎZ;  x = pk/2,  kÎZ.

Пример 3. Решить уравнение

                                cos3x/sin2x=cos5x/sin2x.

Решение. Область определения уравнения sin2x¹0 x¹pn/2,  nÎZ.

Данное уравнение в области определения равносильно уравнению

cos3x =cos5x или cos3x-cos5x=0. Применим формулу (7), получим уравнение 2sin4xsinx=0, которое равносильно совокупности двух уравнений:

1)   sin4x=0, x=pn/4, nÎZ,

2)    sinx=0, x=pk, kÎZ.

Выберем решения, принадлежащие области определения уравнения.  Решения x=pk не принадлежат области определения уравнения, поэтому x=p/4+pn/2, nÎZ (см. рисунок).

Ответ. p/4+pn/2, nÎZ.