3. Выбор корней тригонометрического уравнения из указанного числового промежутка

Теория и примеры

         Иногда требуется не только решить тригонометрическое уравнение в общем виде, но и найти частные корни из указанного отрезка или интервала. Для этого используют единичную окружность или числовую ось.

Пример 1. Решить уравнение

                                 1+cosx=cos(x/2)

и найти все его корни, принадлежащие отрезку [-p/2; p].

Решение.  Область определения xÎR.

2cos²(x/2) – cos(x/2)=0,   cos(x/2)×(2cos(x/2) –1)=0. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) cos(x/2)=0,     x₁=p+2pn, nÎZ;

2) cos(x/2)=1/2,  x₂=±2p/3+4pk, kÎZ.

Покажем выбор корней, принадлежащих отрезку [-p/2; p], с помощью единичной окружности и с помощью числовой оси. Из множества х₁ в указанный отрезок попадает единственный корень x=p, а из множества x₂ - корень x=2p/3.

Ответ. 2p/3, p.

Замечание. Вы можете воспользоваться только одним из способов выбора корней, по своему усмотрению.

Пример 2. Найти корни уравнения

                             2sinx+1=0,

 принадлежащие интервалу (-p;5p/2).

Решение. Область определения уравнения xÎR.  Перепишем данное уравнение sin x =-1/2.

Используя единичную окружность, запишем два множества корней уравнения: 1) x₁ =-p/6+2pk,  kÎZ, 

2) x₁ =-5p/6+2pn,  nÎZ,

По условию  -p< x <5p/2, поэтому

Учитывая, что k и n - целые числа, получим: kÎ{0;1} ,  nÎ{0;1}. Тогда

  x₁= -p/6,   x₂=-5p/6,     x₁¹=11p/6,   x₂¹=7p/6.

Ответ. -5p/6, -p/6, 7p/6, 11p/6.